کسرهای مسلسل

تساوی
نشان می دهد که می توان کسر معمولی 76/318 به صورت یک کسر مسلسل نوشت. اگر همه ی صورت ها در کسر مسلسل 1 باشند (مانند مثال بالا) آن را کسر مسلسل ساده می نامند.
شاید جالب ترین خاصیت مقدماتی کسرهای مسلسل، رابطه ی نزدیک آن ها با الگوریتم اقلیدسی برای یافتن بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح باشد:

تذکر:

برای به دست آوردن کسر بالا بنویسید:
و سپس به جای
و به همین ترتیب تا الی آخر

تذکر:

76÷318 خارج قسمت 4 و باقی مانده 14 را می دهد و به همین ترتیب الی آخر.
آخرین باقی مانده، 2، ب.م.م 318 و 76 است.
شباهت چشمگیر عبارت های دو ستون موازی در بالا (به خصوص نسبت به ارقام 4، 5، 2 و 3) برخی نویسندگان را به این نتیجه رسانده است که بگویند کسرهای مسلسل پیش تر «البته نه در نمادهای امروزی» بر یونانیان معلوم بوده است.
به نظر می رسد که رافائل بومبلی نخستین کسی باشد که برای اولین بار به طور صریح از کسرهای مسلسل (نامتناهی) استفاده کرده است، آن جا که مطلب زیر را در سال 1572 نوشت(در این جا از نمادهای امروزی استفاده شده است):
تشخیص داده است.
عبارت بالا برای کسر مسلسل نامتناهی» نامیده می شود و می توان آن را از برابر نهادن با
بنابراین:
حال کافی است که با جایگزین کردن این فرایند برای یافتن دنباله ای نامتناهی از تقریب های متوالی برای
نخستین سه همگرای (2) زیرا را به دست می دهد:
این دنباله به همگراست و به طوری که در شکل [3]-1 نشان داده شده است عضوهای آن حول نوسان می کنند.
جان والیس (ح 1685 م) بسیاری از خواص این همگراها، از جمله فرمول های بازگشتی ای را پیدا کرد که همگرای معینی مثل
را بر حسب دو مجموعه از N ها و Dهای پیش تر بیان می کنند. یکی از مثال های جالب بحث شده توسط والیس همان است که ویلیام برونکر (3)(1685) هم کشف کرده است:
شکلی نوین از نمادگذاری توسط کریستیان هویگنس (4)(1629-1695) مطرح شد. وی نسبت 2640858/77708431
را به این شکل نوشت:
این نسبت در واقع در حل یک مسئله ی عملی که او در 1680 در طراحی چرخ های دندانه دار آسمان نمای خود به آن برخورد کرده بود مطرح شد. حرکت سالانه ی زمین در 365 روز است، در حالی که حرکت زحل است. با تبدیل به واحد یک شصتم ثانیه، نسبت 431،708، 77 به 858، 640، 2 مانند دوره ی زحل به دوره ی زمانی است که طی آن زمین گردش خود به دور خورشید را انجام می دهد. کسر مسلسل ساده ی متناظر داده شده در بالا، امروزه گاهی با نمادگذاری ساده تر (000، 4،1، 5، 1، 2، 2؛ 29) نشان داده می شود که به وسیله ی دیریکله (5) در 1854 معرفی شد.
هویگنس میل داشت دو عدد صحیح کوچک تر را با تقریباً همان نسبت پیدا کند به طوری که هیچ زوجی از اعداد صحیح کوچک تر تقریب نزدیک تری را عاید نکند. با نشان دادن کسر مسلسل ساده در شکل امروزی ی آن، تقرب او با تلاش به تعیین a_k به طوری که بیشترین مقدار را داشته باشند انجام شد. وی سپس از برای تقریب خود استفاده کرد. به این ترتیب او 7/206=(1؛2،2؛29) را برگزید؛ چرخ زحل 206 دندانه داشت در حالی که موتور چرخ آن 7 دندانه داشت. استفاده از این اعداد مستلزم آن بود که چرخ زحل هر 1346 سال یکبار یک دندانه به جلو برده شود.
پی یتر و کاتالدی (6) (1613) نخستین کسی بود که کار روی نظریه ی کسرهای مسلسل را آغاز کرد و نیز در رساله ای که در بولونیا درباره ی یافتن ریشه های دوم اعداد منتشر شد، انگیزه ی خود برای نمادگذاری ای را که بعداً توسط هویگنس به کار رفت مطرح کرد.
لئونهارت اویلر (1737) پایه های نظریه ی امروزی را تحکیم بخشید و نشان داد که هر درجه ی دوم گنگ را می توان با یک کسر مسلسل مکرر (یا تناوبی) ساده نمایش داد؛ به این ترتیب را می توان به شکل زیر نیز نوشت:
به صورت فشرده تر،
وهان هاینریش لامبرت (7)(1761) نشان داد که کسر مسلسل ساده زیر برای،
تناوبی و بنابراین درجه ی دوم گنگ
ژوزف لوئی لاگرانژ (1798) ثابت کرد که کسرهای مسلسل ساده، نمایش جواب های معادله های درجه دوم با ضرایب گویا هستند. مثلاً،
لاگرانژ نخستین شرح کامل همگرایی همگراها را هم ارائه کرد. او به طور کلی نشان داد (شکل [3]-1) که هر همگرای فرد کوچک تر از همه ی همگراها (در دنباله ی و هرهمگرای زوج بزرگ تر از همه ی همگراهای بعدی است. از این (و این حقیقت که C ها به میل می کنند) نتیجه می شود که، مثلاً اختلاف آدریان ماری لژاندر(1794) ثابت کرد که هر کسر مسلسل نامتناهی، گنگ است.
توماس یوانس استیلت یس (8)(1894) رابطه ای بین سری های واگرا و کسرهای مسلسل همگرا پیدا کرد که امکان تعریف انترال گیری برای سری ها را به وجود آورد؛ انتگرال های استیلت یس، تا حدی نتیجه ی کار وی با کسرهای مسلسل است.

پی نوشت ها :

1. Elaine J.Tatham
2. هر یک از کسرهای مسلسل متناهی که بخشی از یک کسر مسلسل است، یک همگرا (convergent) آن کسر مسلسل نامیده می شود.-م.
3. william Brouncker
4. christiaan Huygens
5. Dirchelet
6. pietro cataldi
7. Johon Heinrich Lambert
8. Thomas Joannes stieltjes

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.